Un primer contacto con ecuaciones diofánticas (I)

Problema 45

Fotografía de John Westrock, disponible en Unsplash.

Problema 45:

  • (a) Sea $c$ un número entero positivo tal que $10\leq c\leq 100$. ¿Cuál es el valor mínimo de $c$ para el cual la ecuación $84x+990y=c$ admite solución entera?
  • (b) Un hombre compra caballos y vacas, pagando $1770$ euros. Una vaca cuesta $21$ euros y un caballo $31$ euros. ¿Cuántos caballos y vacas ha comprado?

Para el apartado (a), como

$$ \begin{aligned} 84 &= 2^2 \cdot3\cdot7,\\ 990 &= 2\cdot 3^2 \cdot5\cdot11, \end{aligned} $$

entonces $mcd(84, 990) = 6$. Para que la ecuación diofántica planteada admita soluciones enteras, $6$ ha de dividir a $c$ y como buscamos el valor mínimo de $c$, nuestra tarea se reduce pues a encontrar el primer múltiplo de $6$ que pertenezca al intervalo $[10,100]$. La solución será, por tanto, $c=12$.

En cuanto al apartado (b), consideremos $x$ el número de vacas compradas e $y$ el total de caballos adquiridos. Dados sus respectivos precios y el importe total desembolsado, planteamos la ecuación diofántica

$$ 21x + 31y = 1770. $$

Como $mcd(21,31) = 1$ y $1|1770$, estamos en condiciones de asegurar que la anterior ecuación diofántica admite solución entera. Para aliviar cálculos, empecemos llevando a cabo el cambio de variable

$$ \begin{aligned} x &= 1770x^{\prime},\\ y &= 1770y^{\prime}, \end{aligned} $$

con lo cual queda $21x^{\prime} + 31y^{\prime} = 1$. Despejando ahora la variable $x^{\prime}$,

$$ \begin{aligned} x^{\prime} = \dfrac{1-31y^{\prime}}{21} = -y^{\prime} + \dfrac{1 - 10y^{\prime}}{21} = -y^{\prime} + x^{\prime\prime}, \end{aligned} $$

con

$$ x^{\prime\prime} = \dfrac{1-10y^{\prime}}{21}, $$

es decir, $21x^{\prime\prime} = 1-10y^{\prime}$, y despejando ahora la variable $y^{\prime}$,

$$ y^{\prime} = \dfrac{1-21x^{\prime\prime}}{10}, $$

ecuación para la que, por tanteo, rápidamente observamos que si $x^{\prime\prime} = 1$, entonces $y^{\prime} = (-2)$. Deshaciendo ahora los cambios de variable realizados,

$$ \begin{aligned} x^{\prime} &= -y^{\prime} + x^{\prime\prime} = 2 + 1 = 3,\\ x &= 1770x^{\prime} = 1770\cdot3 = 5310,\\ y &= 1770y^{\prime} = 1770\cdot(-2) = -3540, \end{aligned} $$

llegamos a una solución particular de la ecuación diofántica propuesta. Así, su solución general queda

$$ \begin{aligned} x &= 5310 + 31t,\\ y &= (-3540) - 21t, \end{aligned} $$

con $t$ número entero. El número de animales que ha comprado de cada clase ha de ser, necesariamente, mayor o igual que cero, por lo que planteamos las inecuaciones,

$$ \begin{aligned} 5310 + 31t &\geq 0\Rightarrow t\geq -\dfrac{5310}{31} = -171.29,\\ -3540-21t &\geq 0\Rightarrow t\leq -\dfrac{3540}{21} = -168.57. \end{aligned} $$

Como $t$ ha de ser entero, concluimos que $-171\leq t\leq -169$. Por tanto,

$t$ $x$ (vacas) $y$ (caballos)
$-171$ $9$ $51$
$-170$ $40$ $30$
$-169$ $71$ $9$

Siendo así la posible respuesta, al interrogante planteado en el enunciado del ejercicio, cualquiera de las anteriores tres posibilidades.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

comments powered by Disqus

Relacionado