Un primer contacto con ecuaciones diofánticas (II)

Problema 46

Fotografía de Kevin Bosc, disponible en Unsplash.

Problema 46: Estudia cuáles de estas ecuaciones diofánticas tiene solución entera y, en su caso, calcúlala:

  • (a) $25x+36y=10$.
  • (b) $200x+1768y=8$.
  • (c) $40x+50y=3$.
  • (d) $213x+1123y=18$.
  • (e) $14x+165y=1$.

Para el apartado (a), como $25=5^2$ y $36 = 2^2 \cdot3^2$, entonces $mcd(25,36)=1$, y, dado que $1|10$, estamos en condiciones de asegurar que la ecuación diofántica propuesta admite solución entera. Empecemos despejando la variable $x$, por ser aquella cuyo coeficiente asociado es más reducido. Así,

$$ x = \dfrac{10-36y}{25} = -y + \dfrac{10-11y}{25} = -y+x^{\prime}, $$

con

$$ x^{\prime}=\dfrac{10-11y}{25}, $$

esto es, $25x^{\prime} + 11y = 10$, luego

$$ y = \dfrac{10-25x^{\prime}}{11} = -2x^{\prime} + \dfrac{10-3x^{\prime}}{11} = -2x^{\prime}+y^{\prime}, $$

con

$$ y^{\prime}=\dfrac{10-3x^{\prime}}{11}, $$

es decir, $3x^{\prime} +11y^{\prime} =10$. Finalmente,

$$ x^{\prime} = \dfrac{10-11y^{\prime}}{3}, $$

por lo que basta probar para $y^{\prime}$ valores pertenecientes al menor sistema completo de restos módulo $3$. Para $y^{\prime} =2$, tenemos que $x^{\prime} = (-4)$, y deshaciendo ahora los cambios de variable llevados a cabo anteriormente,

$$ \begin{aligned} y &= -2x^{\prime} + y^{\prime} = 8+2=10,\\ x &= -y + x^{\prime} = (-10) - 4 = -14, \end{aligned} $$

esto es, una solución particular para la ecuación diofántica planteada es $(x_0,y_0) = ((-14), 10)$, mientras que su solución general queda

$$ \begin{aligned} x &= (-14) + 36t,\\ y &= 10 - 25t, \end{aligned} $$

con $t$ número entero.

De cara al apartado (b), comencemos calculando el máximo común divisor de $200$ y $1768$ por el Algoritmo de Euclides. Tenemos que,

$$ \begin{aligned} 1768 &= 200\cdot8 + 168,\\ 200 &= 168\cdot1 + 32,\\ 168 &= 32\cdot5 + 8,\\ 32 &= 8\cdot4, \end{aligned} $$

por lo que $mcd(200,1768) = 8$ y, evidentemente, $8|8$, por lo que estamos en condiciones de asegurar que la ecuación diofántica propuesta en este apartado admite solución entera. Simplificando dicha ecuación por $8$ queda $25x + 221y = 1$. Despejemos la variable $x$, por ser aquella cuyo coeficiente es más reducido,

$$ x = \dfrac{1-221y}{25} = -8y + \dfrac{1-21y}{25} = -8y + x^{\prime},\quad\text{con}\quad x^{\prime} = \dfrac{1-21y}{25}, $$

esto es, $25x^{\prime} +21y = 1$, luego

$$ \begin{aligned} y = \dfrac{1-25x^{\prime}}{21} = -x^{\prime} + \dfrac{1-4x^{\prime}}{21} = -x^{\prime} +y^{\prime},\quad\text{con}\quad y^{\prime} = \dfrac{1-4x^{\prime}}{21}, \end{aligned} $$

es decir, $4x^{\prime} + 21y^{\prime} = 1$, por lo que

$$ \begin{aligned} x^{\prime} = \dfrac{1-21y^{\prime}}{4}, \end{aligned} $$

y ya únicamente basta probar valores para $y^{\prime}$ que pertenezcan al menor sistema completo de restos módulo $4$. Así, para $y^{\prime} = 1$, tenemos que $x^{\prime} = (-5)$, y deshaciendo los cambios de variable llevados a cabo arriba,

$$ \begin{aligned} y &= -x^{\prime}+y^{\prime} = 5+1=6,\\ x &= -8y+x^{\prime} = (-48)-5 = (-53). \end{aligned} $$

Una solución para la ecuación diofántica planteada es $(x_0,y_0) = ((-53), 6)$, y su solución general queda

$$ \begin{aligned} x &= (-53) + 1768t,\\ y &= 6-200t, \end{aligned} $$

con $t$ número entero.

A continuación, en el apartado (c), como $40 = 2^3 \cdot5$ y $50 = 2\cdot5^2$, resulta que $mcd(40,50) = 10$, y dado que $10\nmid 3$, estamos en condiciones de asegurar que la ecuación diofántica propuesta no admite solución entera.

Para el apartado (d), empecemos calculando el máximo común divisor de $213$ y $1123$ utilizando el Algoritmo de Euclides,

$$ \begin{aligned} 1123 &= 213\cdot5 + 58,\\ 213 &= 58\cdot3 + 39,\\ 58 &= 39\cdot1 + 19,\\ 39 &= 19\cdot2 + 1,\\ 19 &= 1\cdot19, \end{aligned} $$

por lo que $mcd(213, 1123)=1$, esto es, la ecuación diofántica admite solución entera, ya que, obviamente, $1|18$. Por comodidad en los cálculos, empecemos llevando a cabo el cambio de variable

$$ \begin{aligned} x &= 18x^{\prime},\\ y &= 18y^{\prime}, \end{aligned} $$

y así queda, $213x^{\prime} + 1123y^{\prime}=1$. Despejando la variable $x^{\prime}$, por ser aquella cuyo coeficiente asociado es más reducido, llegamos a que

$$ x^{\prime} = \dfrac{1-1123y^{\prime}}{213} = -5y^{\prime} + \dfrac{1-58y^{\prime}}{213} = -5y^{\prime}+x^{\prime\prime}, $$

con

$$ x^{\prime\prime} = \dfrac{1-58y^{\prime}}{213}, $$

esto es, $213x^{\prime\prime} + 58y^{\prime} = 1$. Ahora,

$$ y^{\prime} = \dfrac{1-213x^{\prime\prime}}{58} = -3x^{\prime\prime} + \dfrac{1-39x^{\prime\prime}}{58} = -3x^{\prime\prime} + y^{\prime\prime}, $$

con

$$ y^{\prime\prime} = \dfrac{1-39x^{\prime\prime}}{58}, $$

es decir, $39x^{\prime\prime} + 58y^{\prime\prime} = 1$. A continuación,

$$ x^{\prime\prime} = \dfrac{1-58y^{\prime\prime}}{39} = -y^{\prime\prime} + \dfrac{1-19y^{\prime\prime}}{39} = -y^{\prime\prime} + x^{\prime\prime\prime}, $$

con

$$ x^{\prime\prime\prime} = \dfrac{1-19y^{\prime\prime}}{39}, $$

esto es, $39x^{\prime\prime\prime} + 19y^{\prime\prime}=1$. Acto seguido,

$$ y^{\prime\prime} = \dfrac{1-39x^{\prime\prime\prime}}{19} = -2x^{\prime\prime\prime} + \dfrac{1-x^{\prime\prime\prime}}{19} = -2x^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime\prime}, $$

con

$$ y^{\prime\prime\prime} = \dfrac{1-x^{\prime\prime\prime}}{19}, $$

es decir, $x^{\prime\prime\prime} +19y^{\prime\prime\prime} = 1$, luego $x^{\prime\prime\prime} = 1-19y^{\prime\prime\prime}$. Una solución particular para esta última es $(x^{\prime\prime\prime}_0, y^{\prime\prime\prime}_0) = (1,0)$, y así, deshaciendo los cambios de variable realizados, arribamos a

$$ \begin{aligned} y^{\prime\prime}_0 &= -2x^{\prime\prime\prime}_0 + y^{\prime\prime\prime}_0 = (-2)+0 = (-2),\\ x^{\prime\prime}_0 &= -y^{\prime\prime}_0 + x^{\prime\prime\prime}_0 = 2+1 = 3,\\ y^{\prime}_0 &= -3x^{\prime\prime}_0 + y^{\prime\prime}_0 = (-9) - 2 = (-11),\\ x^{\prime}_0 &= -5y^{\prime}_0 + x^{\prime\prime}_0 = 55 + 3 = 58,\\ y_0 &= 18y^{\prime}_0 = (-198),\\ x_0 &= 18x^{\prime}_0 = 1044, \end{aligned} $$

por lo que la solución general a la ecuación diofántica planteada es

$$ \begin{aligned} x &= 1044 + 1123t,\\ y &= (-198) - 213t, \end{aligned} $$

con $t$ número entero.

Finalmente, en el apartado (e), como

$$ \begin{aligned} 14 &= 2\cdot7,\\ 165 &= 3\cdot5\cdot11, \end{aligned} $$

entonces $mcd(14,165)=1$, por lo que la ecuación diofántica propuesta admite solución entera. Despejando la variable $x$, por ser aquella cuyo coeficiente asociado es más reducido, tenemos que

$$ x=\dfrac{1-165y}{14}=-11y+\dfrac{1-11y}{14}=-11y+x^{\prime}, $$

con

$$ x^{\prime}=\dfrac{1-11y}{14}, $$

esto es, $14x^{\prime}+11y=1$. Ahora,

$$ y=\dfrac{1-14x^{\prime}}{11}=-x^{\prime}+\dfrac{1-3x^{\prime}}{11}=-x^{\prime}+y^{\prime}, $$

con

$$ y^{\prime}=\dfrac{1-3x^{\prime}}{11}, $$

es decir, $3x^{\prime} +11y^{\prime}=1$. A continuación,

$$ \begin{aligned} x^{\prime} =\dfrac{1-11y^{\prime}}{3}, \end{aligned} $$

por lo que basta probar, para $y^{\prime}$, valores pertenecientes al menor sistema completo de restos módulo $3$. Para $y^{\prime}_0=2$, es cierto que $x^{\prime}_0 = (-7)$, y deshaciendo los cambios de variable llevados a cabo,

$$ \begin{aligned} y_0 &= -x^{\prime}_0 + y^{\prime}_0 = 7+2=9,\\ x_0 &= -11y_0 + x^{\prime}_0 = (-99)-7 = (-106), \end{aligned} $$

llegamos a una solución particular para la ecuación diofántica planteada. Así, su solución general queda

$$ \begin{aligned} x &= (-106) + 165t,\\ y &= 9-14t, \end{aligned} $$

con $t$ número entero.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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