¡Nos vamos al cine!

Problema 47

Fotografía de Jeff Golenski, disponible en Unsplash.

Problema 47: Una persona ha comprado entradas para el cine para personas adultas por un precio de $640$ unidades monetarias (um) cada una y para menores de edad a $330$ um. Sabiendo que invirtió $7140$ um y que compró menos entradas de adultos que de menores, hallar el número de entradas que adquirió.


Sean $x$ el número de entradas para personas adultas compradas e $y$ el número de entradas para menores de edad compradas, con $x,y\in\mathbb{N}$. Dados los precios del enunciado y la cantidad total invertida, planteamos la siguiente ecuación diofántica:

$$ 640x + 330y = 7140, $$

que es equivalente, simplificando por $10$, a

$$ 64x + 33y = 714. $$

Utilicemos el Algoritmo de Euclides para hallar el $mcd(64,33)$ y decidir así si la ecuación admite o no solución entera. Tenemos que:

$$ \begin{aligned} 64 &= 33\cdot 1 + 31,\\ 33 &= 31\cdot 1 + 2,\\ 31 &= 2\cdot 15 + 1,\\ 2 &= 1\cdot 2, \end{aligned} $$

luego $mcd(64,33) = 1$, y como $1|714$, estamos en condiciones de asegurar que la ecuación diofántica admite solución entera. Como $714$ es un número ciertamente elevado, comencemos llevando a cabo el cambio de variable

$$ \begin{aligned} x &= 714x^{\prime},\\ y &= 714y^{\prime}, \end{aligned} $$

de manera que la ecuación diofántica queda $64x^{\prime} + 33y^{\prime} = 1$ y nos invita a despejar $y^{\prime}$, por ser la variable cuyo coeficiente asociado es más reducido, de forma que

$$ y^{\prime} = \dfrac{1-64x^{\prime}}{33}. $$

Ahora, como el valor que figura en el denominador de la igualdad anterior es $33$, a continuación, tendríamos que darle a $x^{\prime}$, de manera ordenada, valores del menor sistema completo de restos módulo $33$ hasta hallar una solución particular.

No obstante, en lugar de llevar a cabo tan titánica labor, aprovecharemos las operaciones realizadas durante el Algoritmo de Euclides para descomponer la anterior fracción como sigue:

$$ y^{\prime} = -x^{\prime} + \dfrac{1 - 31x^{\prime}}{33} = -x^{\prime} + y^{\prime\prime}, $$

con

$$ y^{\prime\prime} = \dfrac{1 - 31x^{\prime}}{33}, $$

que equivale a $33y^{\prime\prime} = 1 - 31x^{\prime}$, de manera que ahora tendríamos que despejar $x^{\prime}$, quedando:

$$ x^{\prime} = \dfrac{1-33y^{\prime\prime}}{31} = -y^{\prime\prime} + \dfrac{1-2y^{\prime\prime}}{31}=-y^{\prime\prime} + x^{\prime\prime}, $$

con

$$ x^{\prime\prime} = \dfrac{1-2y^{\prime\prime}}{31}, $$

que equivale a $31x^{\prime\prime} = 1-2y^{\prime\prime}$, y despejando $y^{\prime\prime}$ tenemos que

$$ y^{\prime\prime} = \dfrac{1-31x^{\prime\prime}}{2}. $$

Tras aplicar en retiradas ocasiones la misma estrategia de descomposición, hemos alcanzado un valor razonable para el denominador de la anterior ecuación. Podemos así dar valores a $x^{\prime\prime}$, ya que únicamente tendríamos que probar $x^{\prime\prime} =0$, y $x^{\prime\prime} =1$ (que conforma el menor sistema completo de restos módulo $2$). Para $x^{\prime\prime} =0$, $y^{\prime\prime} \notin\mathbb{Z}$, pero para $x^{\prime\prime} =1$, $y^{\prime\prime} = -15$. Ahora,

$$ \begin{aligned} x^{\prime} &= -y^{\prime\prime} + x^{\prime\prime} = 15+1 = 16,\\ y^{\prime} &= -x^{\prime} + y^{\prime\prime} = -16 -15 = -31,\\ x &= 714x^{\prime} = 714\cdot 16 = 11424,\\ y &= 714y^{\prime} = 714\cdot(-31) = -22134, \end{aligned} $$

por lo que la solución particular queda

$$ \begin{aligned} x_0 &= 11424,\\ y_0 &= -22134, \end{aligned} $$

mientras que la solución general es

$$ \begin{aligned} x &= 11424 + 33t,\\ y &= -22134 - 64t, \end{aligned} $$

con $t\in\mathbb{Z}$.

Ahora que hemos resuelto la ecuación diofántica, centrémonos en sacar el número de entradas. Por un lado, en ambos casos debe tratarse de un número mayor o igual que cero, es decir, tanto $x\geq0$, como $y\geq0$. Además, nos dicen que compró menos entradas de adultos que de menores, es decir, que $x<y$. Todo esto da lugar a las siguientes condiciones:

$$ \begin{aligned} x = 11424 + 33t&\geq0,\\ y = -22134 - 64t&\geq0,\\ 11424 + 33t &< -22134 - 64t, \end{aligned} $$

con $t\in\mathbb{Z}$. De la primera inecuación, se llega a que

$$ t\geq -\dfrac{11424}{33}, $$

luego $t\geq -346$. De la segunda inecuación, se llega a que

$$ t\leq -\dfrac{22134}{64}, $$

luego $t\leq -346$, con lo cual $t=346$, cantidad que, efectivamente, también verifica la tercera inecuación. Así,

$$ \begin{aligned} x &= 11424 + 33\cdot(-346) = 6,\\ y &= -22134 - 64\cdot(-346) = 10, \end{aligned} $$

es decir, compró $6$ entradas para adultos y $10$ entradas para menores de edad.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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