Un primer contacto con ecuaciones diofánticas (III)

Problema 48

Fotografía de Alexander Slash, disponible en Unsplash.

Problema 48: Halla las soluciones enteras de la ecuación $x^2 - y^2 = 36$.


Al ser $36$ par y múltiplo de $4$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$, estamos en condiciones de asegurar que la ecuación diofántica planteada admite solución entera. Escribimos $x^2 - y^2=36$ como $(x+y)(x-y)=36$, y consideramos

$$ \begin{aligned} 36 &= 36\cdot1 \\ &= 18\cdot2 \\ &= 12\cdot3 \\ &= 9\cdot4 \\ &= 6\cdot6 \\ &= 4\cdot9 \\ &= 3\cdot12 \\ &= 2\cdot18 \\ &= 1\cdot36, \end{aligned} $$

descartando automáticamente aquellos casos en los que la paridad de ambos términos no coincide.

Así, para $36 = 18\cdot2$, tenemos el sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{aligned} x+y &= 18,\\ x-y &= 2, \end{aligned} $$

con solución $x = 10$ e $y = 8$. Para la descomposición $36 = (-18)\cdot(-2)$ el sistema de ecuaciones lineales que conformaríamos posee como solución $x = (-10)$ e $y = (-8)$.

A continuación, si $36 = 6\cdot6$, tenemos el sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{aligned} x+y &= 6,\\ x-y &= 6, \end{aligned} $$

con solución $x = 6$ e $y = 0$. Para la descomposición $36 = (-6)\cdot(-6)$ el sistema de ecuaciones lineales que conformaríamos posee como solución $x = (-6)$ e $y = 0$.

Acto seguido, si $36 = 2\cdot18$, tenemos el sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{aligned} x+y &= 2,\\ x-y &= 18, \end{aligned} $$

con solución $x = 10$ e $y = (-8)$. Para la descomposición $36 = (-2)\cdot(-18)$ el sistema de ecuaciones lineales que conformaríamos posee como solución $x = (-10)$ e $y = 8$.

Queda así resuelta la ecuación diofántica planteada en el enunciado del ejercicio.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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