Un primer contacto con ecuaciones diofánticas (III)

Problema 48

Fotografía de Alexander Slash, disponible en Unsplash.

Problema 48: Halla las soluciones enteras de la ecuación $x^2 - y^2 = 36$.


Al ser $36$ par y múltiplo de $4$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$, estamos en condiciones de asegurar que la ecuación diofántica planteada admite solución entera. Escribimos $x^2 - y^2=36$ como $(x+y)(x-y)=36$, y consideramos

$$ \begin{aligned} 36 &= 36\cdot1 \\ &= 18\cdot2 \\ &= 12\cdot3 \\ &= 9\cdot4 \\ &= 6\cdot6 \\ &= 4\cdot9 \\ &= 3\cdot12 \\ &= 2\cdot18 \\ &= 1\cdot36, \end{aligned} $$

descartando automáticamente aquellos casos en los que la paridad de ambos términos no coincide.

Así, para $36 = 18\cdot2$, tenemos el sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{aligned} x+y &= 18,\\ x-y &= 2, \end{aligned} $$

con solución $x = 10$ e $y = 8$. Para la descomposición $36 = (-18)\cdot(-2)$ el sistema de ecuaciones lineales que conformaríamos posee como solución $x = (-10)$ e $y = (-8)$.

A continuación, si $36 = 6\cdot6$, tenemos el sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{aligned} x+y &= 6,\\ x-y &= 6, \end{aligned} $$

con solución $x = 6$ e $y = 0$. Para la descomposición $36 = (-6)\cdot(-6)$ el sistema de ecuaciones lineales que conformaríamos posee como solución $x = (-6)$ e $y = 0$.

Acto seguido, si $36 = 2\cdot18$, tenemos el sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{aligned} x+y &= 2,\\ x-y &= 18, \end{aligned} $$

con solución $x = 10$ e $y = (-8)$. Para la descomposición $36 = (-2)\cdot(-18)$ el sistema de ecuaciones lineales que conformaríamos posee como solución $x = (-10)$ e $y = 8$.

Queda así resuelta la ecuación diofántica planteada en el enunciado del ejercicio.

Alexis Sáez
Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

comments powered by Disqus

Relacionado