Fotografía de Elvira Visser, disponible en Unsplash.
Problema 49: Halla los números naturales $n$ de manera que se cumpla que
$$ 1+2+ \cdots +n = k^2, $$
con $k$ número natural.
Observamos rápidamente que para $n = 1$ se verifica la propiedad, sin más que tomar asimismo $k = 1$. El enunciado propuesto en el ejercicio es equivalente a hallar los números triangulares que son cuadrados perfectos. La ecuación diofántica $1+2+ \cdots +n = k^2$ podemos escribirla de manera más compacta utilizando la conocida expresión para la suma de los primeros $n$ números naturales. Así,
$$ \dfrac{n(n+1)}{2} = k^2, $$
o, equivalentemente, $n^2 +n=2k^2$, dando lugar pues a la siguiente ecuación de segundo grado en $n$, $n^2 +n-2k^2 =0$. Por tanto,
$$ n = \dfrac{(-1)\pm\sqrt{1+8k^2}}{2}. $$
Como buscamos valores naturales para $n$, podemos prescindir del signo $-$ que aparece en el numerador. Además, $1+8k^2$ ha de ser un cuadrado perfecto, que también necesitaremos sea impar, para que el numerador sea par y así $n$, efectivamente, pertenezca al conjunto de los números naturales. De esta manera, como ha de ser $1+8k^2$ un cuadrado perfecto, planteamos la ecuación $1+8k^2 = p^2$, que nos lleva a la ecuación de Pell
$$ p^2 -8k^2 =1, $$
de la cual sabemos posee infinitas soluciones en los enteros, pues $8$ no es un cuadrado perfecto. Por tanteo, una solución particular es $p=3$ y $k=1$, ya que $3^2 - 8\cdot1^2=1$. Expresamos ahora la diferencia de cuadrados como producto de una suma y una diferencia, de forma que
$$ 3^2 - 8\cdot 1^2 =1\Leftrightarrow (3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})=1. $$
De igual manera, la sucesión de soluciones enteras, que denotaremos por $(p_n,k_n)$, debe cumplir que $(p_n + k_n\sqrt{8})(p_n - k_n\sqrt{8})=1$. Obtengamos la solución general utilizando recurrencias, de manera que,
$$ p_{n+1} + k_{n+1}\sqrt{8} = (p_n+k_n\sqrt{8})(3+\sqrt{8}) = 3p_n + \sqrt{8}p_n + 3\sqrt{8}k_n + 8k_n, $$
luego
$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= 3p_n + 8k_n,\\ k_{n+1} &= p_n + 3k_n. \end{aligned} $$
Utilizando notación matricial,
$$ \begin{bmatrix} p_{n+1}\\ k_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_n\\ k_n \end{bmatrix}. $$
Ahora, $$n = \dfrac{(-1) + p}{2},$$ por lo que la solución general del ejercicio queda como
$$ \begin{bmatrix} p_{n+1}\\ k_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_n\\ k_n \end{bmatrix}, $$
con $(p_1,k_1) = (3,1)$ y
$$ n = \dfrac{(-1) + p_n}{2}. $$
Así, para $p_1 = 3$, tenemos que $n = ((-1)+3) / 2 = 1$. Obtengamos algunas soluciones adicionales,
$$ \begin{bmatrix} p_{2}\\ k_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 6 \end{bmatrix}, $$
y entonces, para $p_2=17$ queda $n = ((-1) + 17) / 2 = 8$, esto es,
$$ 1+2+ \cdots +7+8 = 6^2. $$
Ahora,
$$ \begin{bmatrix} p_3\\ k_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 17\\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 99\\ 35 \end{bmatrix}, $$
y, por tanto, para $p=99$ queda $n = ((-1) + 99)/2 = 49$, es decir,
$$ 1+2+ \cdots +48+49 = 35^2, $$
bastando aplicar el procedimiento tantas veces como soluciones deseemos encontrar.
