Fotografía de Maksym Ivashchenko, disponible en Unsplash.
Problema 54: Un granjero compró vacas, cerdos y pollos. En total $100$ animales por $100$ euros. Hay al menos uno de cada. Si una vaca cuesta $10$ euros, un cerdo $3$ euros y un pollo $0.50$ euros, ¿cuántos animales de cada clase compró?
Sea $x$ el número de vacas, $y$ el total de cerdos y $z$ la cantidad de pollos adquiridos. Como se compran $100$ animales, tenemos la ecuación lineal $x+y+z=100$, con la restricción de que $x\geq1$, $y\geq1$ y $z\geq1$ ya que nos indican que, al menos, se compra un animal de cada tipo. Finalmente, dados los precios suministrados y el desembolso llevado a cabo, encontramos la ecuación $10x+3y + 0.5z = 100$. Así pues, hemos de resolver el sistema de ecuaciones
$$ \begin{aligned} 10x+3y+0.5z &= 100,\\ x+y+z &= 100, \end{aligned} $$
con la restricción adicional indicada arriba. Despejando la variable $z$ de la segunda ecuación, $z = 100-x-y$, y sustituyéndola en la primera ecuación del sistema,
$$ 10x + 3y + 50 - 0.5x - 0.5y = 100, $$
esto es, $10x+3y-0.5x-0.5y=50$, o bien $19x+5y=100$, ecuación diofántica que sabemos admite solución entera, puesto que $mcd(5,19)=1$ y, obviamente, $1|100$. Así, despejando la variable $y$, por ser aquella cuyo coeficiente asociado es más reducido,
$$ y = \dfrac{100 - 19x}{5}, $$
por lo que basta probar, para $x$, valores pertenecientes al menor sistema completo de restos módulo $5$. Para $x_0=0$, hallamos que $y_0 = 20$, siendo esta una solución particular de la ecuación diofántica propuesta. Su solución general, por tanto, queda
$$ \begin{aligned} x &= 5t,\\ y &= 20-19t, \end{aligned} $$
con $t$ número entero. Como hemos de comprar, al menos, un animal de cada tipo, tanto $x$ como $y$ han de ser positivas. De $5t>0$ concluimos que $t>0$; mientras que de $20-19t>0$ deducimos que $t\leq 1$. Así, como $t$ es un número entero, únicamente puede tomar el valor $t=1$, dejando así $x=5$, $y=1$ y $z = 100-x-y = 100-5-1=94$. Es decir, el granjero compró $5$ vacas, un cerdo y $94$ pollos.
