Midiendo metros con duros y pesetas

Problema 56

Fotografía de Kurt Cotoaga, disponible en Unsplash.

Problema 56: El diámetro de una moneda de $5$ pesetas es de $37$ mm y el de una peseta es de $23$ mm, ¿de cuántas maneras puede obtenerse la longitud de un metro alineando monedas de $5$ pesetas y de pesetas?


Sea $x$ el número de monedas de $5$ pesetas e $y$ la cifra total de monedas de $1$ peseta. Expresando todas las cantidades involucradas en el enunciado del ejercicio en milímetros, para así trabajar con números enteros, hemos de resolver la ecuación diofántica

$$ 37x+23y=1000, $$

para encontrar el número de maneras en las que puede obtenerse un metro alineando monedas de los dos tipos indicados.

Como $23$ y $37$ son números primos, tenemos que $mcd(23,37)=1$, y dado que, trivialmente, $1|1000$, estamos en condiciones de asegurar que la anterior ecuación diofántica planteada admite solución entera. De cara a su resolución, para empezar, llevemos a cabo el cambio de variable

$$ \begin{aligned} x &= 1000x^{\prime},\\ y &= 1000y^{\prime} \end{aligned} $$

de manera que la ecuación diofántica se transforma en $37x^{\prime} + 23y^{\prime} = 1$. Utilizando el Algoritmo de Euclides, como

$$ \begin{aligned} 37 &= 23\cdot1 + 14,\\ 23 &= 14\cdot1 + 9,\\ 14 &= 9\cdot1 + 5,\\ 9 &= 5\cdot1 + 4,\\ 5 &= 4\cdot1 + 1,\\ 4 &= 1\cdot4, \end{aligned} $$

además de haber comprobado que $mcd(23,37)=1$, podemos encontrar una solución particular a la ecuación diofántica sin más que expresar dicho máximo común divisor como combinación lineal de $23$ y $37$. Para ello,

$$ \begin{aligned} 1 &= 5 - 4\cdot1\\ &= 5 - 1\cdot(9\cdot1 - 5) \\ &= (-9) + 2\cdot5 = (-9) + 2(14\cdot1 - 9) \\ &= 2\cdot14 - 3\cdot9 \\ &= 2\cdot14 - 3(23\cdot1 - 14) \\ &= (-3)\cdot23 + 5\cdot14 \\ &= (-3)\cdot23 + 5(37 - 23\cdot1) \\ &= 5\cdot37 - 8\cdot23, \end{aligned} $$

y dado que, recordemos, la ecuación diofántica es $37x^{\prime} +23y^{\prime} =1$, igualando, arribamos a que $x^{\prime}_0=5$ e $y^{\prime}_0=(-8)$. Deshaciendo ahora el cambio de variable realizado,

$$ \begin{aligned} x_0 &= 1000x^{\prime}_0 = 5000,\\ y_0 &= 1000y^{\prime}_0 = (-8000), \end{aligned} $$

es una solución particular para la ecuación diofántica $37x+23y=1000$. Por tanto, su solución general queda

$$ \begin{aligned} x &= 5000 + 23t,\\ y &= (-8000) - 37t, \end{aligned} $$

con $t$ número entero. Dado que el número de monedas que alineamos ha de ser mayor o igual que cero, planteamos las inecuaciones,

$$ 5000 + 23t\geq 0\qquad\text{y}\qquad (-8000) - 37t\geq 0, $$

esto es,

$$ -\dfrac{5000}{23}\leq t\leq -\dfrac{8000}{37}, $$

es decir, $(-217.4)\leq t\leq (-216.2)$ y como $t$ ha de ser un número entero, únicamente deja como solución $t=(-217)$. Por tanto,

$$ \begin{aligned} x &= 5000 + 23\cdot(-217) = 9,\\ y &= (-8000) - 37\cdot(-217) = 29, \end{aligned} $$

esto es, solamente podemos obtener un metro alineando las monedas indicadas de una manera y es utilizando $9$ monedas de $5$ pesetas y $29$ monedas de $1$ peseta.

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Alexis Sáez
Profesor de matemáticas

Cazador de problemas matemáticos en parajes opositores.

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