Midiendo cuadrados en palmos

Problema 58: Determina las dimensiones de un rectángulo sabiendo que sus lados miden un número entero de centímetros, pero no un número entero de palmos, y que su área expresada en palmos cuadrados es igual a su perímetro expresado en palmos lineales. Considera que un palmo equivale a $20$ centímetros.

Sean $x$ e $y$ las medidas de los lados del rectángulo expresadas en centímetros, mientras que denotemos por $a$ y $b$ las correspondientes medidas obtenidas en palmos. El área del rectángulo, en palmos cuadrados, es $a\cdot b$, cantidad que nos dicen ha de ser igual a su perímetro en palmos lineales, que viene dado por $2a+2b = 2(a+b)$. Por tanto, resulta que

$$ a\cdot b = 2(a + b). $$

Dado que un palmo equivale a $20$ centímetros, es cierto que $x = 20a$ e $y = 20b$, y despejando $a$ y $b$, hallamos que

$$ \begin{aligned} a &= \dfrac{x}{20},\\ b &= \dfrac{y}{20}. \end{aligned} $$

Sustituyendo los resultados alcanzados, tenemos que

$$ \dfrac{x}{20}\cdot\dfrac{y}{20} = 2\left(\dfrac{x}{20} + \dfrac{y}{20}\right), $$

esto es, $xy = 40x+40y$, ecuación diofántica no lineal que abordaremos despejando una de las variables y forzando a que la restante tome valores enteros. Así, $xy-40x = 40y$, es decir, $x(y-40) = 40y$, de donde

$$ x = \dfrac{40y}{y-40}. $$

Como $x$ ha de tomar valores enteros, estudiaremos, a continuación, las posibilidades para la fracción que acabamos de obtener. Si llevamos a cabo la división de polinomios, es cierto que

$$ \dfrac{40y}{y-40} = 40 + \dfrac{1600}{y-40}, $$

con $y\neq 40$ ($y=40$ no es una solución aceptable en este contexto, pues al ser múltiplo de $20$, uno de los lados del rectángulo poseería una longitud igual a un número entero de palmos). Hemos llegado entonces a que $y-40$ debe ser un divisor de $1600$.

Ahora bien, $1600 = 2^6 \cdot 5^2$, situación que produce un total de

$$ (6+1)\cdot(2+1) = 21 $$

divisores, por lo que, acto seguido, analizaremos todos y cada uno de los casos. Para empezar, listemos el conjunto de divisores. Para llevar a cabo tal tarea de forma relativamente sencilla, recordemos que la expresión de la suma de los divisores era

$$ (1+2+2^2 +\cdots+2^6 )\cdot(1+5+5^2 ), $$

de manera que si prescindimos de la operación suma, cada uno de los productos resulta ser un divisor de $1600$. Por ejemplo, multiplicando $1$ por $1,2,2^2,\ldots, 2^6$ aparecen los divisores

$$ \{1,2,4,8,16,32,64\}. $$

Multiplicando ahora $5$ por $1,2,2^2,\ldots, 2^6$, obtenemos los divisores

$$ \{5,10,20,40,80,160,320\}. $$

Finalmente, multiplicando $5^2$ por $1,2,2^2 ,\ldots,2^6$, encontramos los divisores

$$ \{25,50,100,200,400,800,1600\}. $$

En definitiva, el conjunto de divisores de $1600$ es

$$ \begin{aligned} \{&1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50,\\ &64, 80, 100, 160, 200, 320, 400, 800, 1600\}. \end{aligned} $$

A continuación, vemos que algunos casos los podemos descartar rápidamente. ¿Es válida la solución $y-40=20$? No, ya que implicaría $y=60 = 3\cdot20$, es decir, $y$ sería entonces un múltiplo entero de palmos, longitud no permitida por las restricciones que impone el enunciado del ejercicio. El mismo razonamiento es válido para los valores $40$, $80$, $160$, $320$, $100$, $200$, $400$, $800$ y $1600$.

Para el resto de casos, conformamos la siguiente tabla

Por tanto, las dimensiones del rectángulo vienen dadas por los pares $(104, 65)$, $(90, 72)$, $(72, 90)$ y $(65, 104)$.